Over de geschiedenis van onze cijfers (I).

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Met deze tien cijfers kunnen wij alle getallen schrijven. Meestal staan we er niet bij stil dat dit eigenlijk heel bijzonder is, en dat ons systeem veel handiger is dan de meeste andere systemen die in de geschiedenis gebruikt zijn. Een voorbeeld van zo'n onhandiger systeem zijn de Romeinse cijfers.

Waarom is ons systeem zo handig? Omdat het een positiesysteem is, dat betekent dat de waarde van een cijfer van zijn positie afhangt. Dat blijkt uit het volgende voorbeeld. Met twee cijfers, 6 en 4, kun je verschillende getallen schrijven, bijvoorbeeld 46 en 64. De 6 in 64 staat voor zes tientallen, dus voor 6 maal 10, maar de zes in 46 staat voor 6 eenheden, dus voor 6 maal 1. Dus twee keer hetzelfde symbool, de 6, maar de waarde van de 6 hangt af van de plaats waar hij staat, en daarom betekent de 6 in 46 dus iets anders dan de 6 in 64.

We hebben dit systeem te danken aan het vroeg-middeleeuwse India. Het is daar in de vijfde eeuw na Christus ontstaan uit een ouder systeem, het zogenaamde Brahmi-systeem. Dit bestond al in de derde eeuw voor Christus, ten tijde van de beroemde koning Ashoka. In het Brahmi-systeem waren er al de cijfers 1 tot en met 9, maar nog geen nul. Voor '10' was er een apart teken, een cirkel met twee pootjes eraan. Voor '20' weer een ander teken, een cirkel met een streepje erin; weer een ander teken voor 30, enzovoort. Er waren speciale tekens voor 100 en voor 1000. Het getal 1111 zou je in het Brahmi-systeem schrijven als het teken voor 1000, gevolgd door het teken voor 100, gevolgd door het teken voor 10 (die cirkel met twee pootjes erin), en dan een 1. Met zo'n systeem kom je niet erg ver, want voor 10.000 moet je weer een nieuw symbool uitvinden, voor 100.000 nog een, enzovoort. Maar in het dagelijks leven in de oudheid en middeleeuwen waren getallen groter dan 10.000 niet vaak nodig.

Alleen in de sterrenkunde waren er toen grotere getallen nodig. In de vijfde of zesde eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen het Brahmi-systeem te wijzigen. Hij voerde een symbool voor 0 in, en het principe dat je de cijfers 1 tot en met 9 niet alleen voor eenheden, maar ook voor tientallen, honderdtallen enzovoort kunt gebruiken, zoals wij dat tegenwoordig gewend zijn. In plaats van het symbol voor tien, die cirkel met twee pootjes, komt er nu een één gevolgd door een nul.

In plaats van het speciale symbool voor twintig, de cirkel met het streepje erin, kun je nu schrijven: twee nul. Voor honderd kun je nu één-nul-nul schrijven, voor duizend één-nul-nul-nul, enzovoort. Je hoeft dan nooit meer nieuwe tekens uit te vinden maar kunt de cijfers één tot en met negen en de nul steeds 'recyclen'. De 'nul' is dus een symbool om 'geen' aan te duiden.

Op de vraag hoe onze onbekende Indiase geleerde op dit lumineuze idee gekomen is zijn door moderne historici verschillende antwoorden gegeven. Daarbij is ook de vraag van belang of er invloed uit andere culturen geweest is.

Volgens sommige historici is dit niet het geval. Zij verwijzen naar een ontwikkeling in het Sanskrit, de heilige taal van India, om getallen op een bepaalde manier in woorden te schrijven. Bijvoorbeeld 'vijfhonderd drie' wordt in sommige teksten in het Sanskrit aangegeven als een woord voor vijf, gevolgd door een woord voor leeg, gevolgd door een woord voor drie. Onze onbekende Indiase geleerde hoefde alleen deze woorden door symbolen te vervangen en klaar is Kees, althans volgens deze historici.

Het is echter wel toevallig dat dit soort woordgetallen in het Sanskrit vooral voorkomen in teksten over sterrenkunde vanaf de vijfde eeuw na Christus. Dit is een periode waarin er in India een nieuwe opbloei van de sterrenkunde plaatsvindt. Die opbloei was geinspireerd door de sterrenkunde van het oude Babylon en Griekenland. Dat dat zo is staat vast omdat veel resultaten en ook een aantal vaktermen in de Indiase sterrekunde van Griekse oorsprong zijn. De Griekse en Babylonische sterrekundigen in de oudheid rekenden in een zestigtallig positiestelsel, en zij hadden een symbool voor de nul. Zij zijn het geweest die de cirkel in 360 graden verdeeld hebben, de graad in 60 minuten en de minuut in 60 seconden. De Grieken schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van hun alfabet, dus 1 = alfa, 2 = beta, enzovoort tot en met 10 = iota. Het getal 11 was iota plus alfa, 12 iota plus beta, tot en met 20 = kappa, en zo verder tot en met 59. Voor 60 schreven zij alfa (= 1) gevolgd door een rondje, een afkorting van het woord 'ouden' (spreek uit: oeden), wat `niets' betekent. 61 was dan alfa-alfa, en zo verder. De Indiase sterrekundigen moeten met dit systeem bekend geweest zijn.

Het lijkt daarom waarschijnlijk dat onze onbekende Indiase sterrekundige als volgt geredeneerd heeft: Een positiestelsel is heel handig, maar dat Griekse zestigtallig stelsel met al die letters van het alfabet is toch wel ingewikkeld. Welnu, dan maken we er een tientallig stelsel van, en we gebruiken voor de cijfers 1 tot en met 9 het Brahmi-systeem dat iedereen toch al kent. We hoeven dan alleen een teken voor de nul toe te voegen. Die woordgetallen in het Sanskrit zouden dan vanuit dezelfde gedachte zijn ontstaan.

Tegenwoordig spreekt men niet van 'Indiase cijfers', maar ten onrechte van 'Arabische cijfers', en dit heeft te maken met de verdere geschiedenis.

Het systeem heeft een lange en moeizame weg door diverse culturen moeten afleggen voordat het uiteindelijk werd geaccepteerd. Hier hoop ik een andere keer op terug te komen.

Terug naar beginscherm geschiedenis van het getal.


Jan Hogendijk <hogend@math.uu.nl>
8 sept 1997