Over de geschiedenis van het getal pi.

Wij hebben allemaal op school het volgende geleerd: de omtrek van een cirkel is 3 1/7 maal de middellijn, en de oppervlakte van een cirkel is 3 1/7 maal de straal in het kwadraat. Eigenlijk is de omtrek pi maal de middellijn, en de oppervlakte pi maal de straal in het kwadraat. Pi is een mysterieus getal, bij benadering 3 1/7 . Die benadering is in 2 decimalen nauwkeurig. Wilt u meer decimalen weten, dan zal ik u aan het eind van dit praatje een versje dicteren waarmee u de eerste 14 decimalen kunt onthouden (pakt u dus alvast pen en papier). Maar eerst iets over de geschiedenis van pi.

Omdat de cirkel een veel voorkomende figuur is, vind je al in heel oude culturen waarden voor het getal pi. In het oude testament, 1 Koningen 7 vers 23, staat dat in de tempel van Salomo een bad van gietijzer gemaakt werd. Dit bad was ''tien el van rand tot rand, terwijl een meetsnoer van dertig el het rondom kon omspannen''. Als we aannemen dat het bad cirkelvormig was, dan was de omtrek dus 3 maal de middellijn, dus pi = 3. In die tijd waren er ook al betere benaderingen bekend, in Babylon gebruikte men soms pi = 3 1/8, al in 1 decimaal nauwkeurig.

In de Griekse oudheid heeft Archimedes benaderingen van pi uitgerekend. Zijn idee is in moderne woorden heel eenvoudig uit te leggen. Kies een cirkel van middellijn 1, de omtrek heeft dan lengte pi. We kunnen die omtrek van de cirkel zelf niet direct uitrekenen. Archimedes kon echter wel de omtrek van de ingeschreven regelmatige zeshoek uitrekenen, die is 3. De cirkel is langer dan die ingeschreven zeshoek, en dus is pi groter dan 3. Archimedes laat nu ook zien, hoe je uitgaande van de zeshoek ook de ingeschreven twaalfhoek kunt berekenen. Die ligt al dichter bij pi. Hij verdubbelt het aantal zijden dan nog drie keer, dan krijgt hij een 96 hoek, die je in een plaatje al bijna niet meer van een cirkel kunt onderscheiden. Van die 96-hoek kan hij de omtrek uitrekenen, en daaruit krijgt hij dat pi groter is dan 3 10/71. Op dezelfde manier werkt hij met een omgeschreven 96-hoek, en hij vindt pi kleiner dan 3 1/7, dat is de benadering van school. We hebben nu pi in 2 decimalen nauwkeurig.

Hoelang Archimedes hiermee recordhouder is geweest weten we niet. In India had men 500 na Christus pi in 4 decimalen. In China schijnt men omstreeks dezelfde tijd een breuk voor pi gevonden te hebben (355/113), en die is nauwkeurig in 6 decimalen. Diezelfde breuk is in de 17e eeuw opnieuw gevonden door de burgemeester van Alkmaar, Adriaan Metius.

Met pi in 6 decimalen bleven de Chinezen recordhouders tot 1400. Toen berekende de Perzische wiskundige al-Kashi pi in 16 decimalen. Hij deed dit door het idee van Archimedes nog verder uit te werken. Al-Kashi verdubbelde de ingeschreven 96-hoek van Archimedes nog 23 keer. Hij kreeg daaruit een ingeschreven 805 miljoen 306 duizend 368 hoek, die natuurlijk nog maar heel erg weinig van de cirkel verschilt. De berekening is gigantisch lang, en je kunt je afvragen waarom iemand pi zo nauwkeurig wil berekenen. al-Kashi wilde dit, omdat hij de omtrek van de baan van Saturnus tot op een haarbreedte nauwkeurig kon uitrekenen (uitgaande van de veronderstelling dat de afstand correct bekend was). Het idee was dus pi zo nauwkeurig uit te rekenen dat dit voor altijd genoeg zou zijn.

Het record van Al-Kashi bleef bijna twee eeuwen staan; toen werd het verbeterd door Ludolf van Ceulen, een Nederlander van Duitse afkomst. Deze berekende in 1596 twintig decimalen, en voor zijn dood in 1610 nog 15 decimalen extra. De 35 decimalen zijn op zijn grafzerk in de Leidse Pieterskerk gebeiteld, maar die grafsteen schijnt verdwenen te zijn. Ludolf van Ceulen gebruikte nog dezelfde methode als Archimedes en al-Kashi, maar in de 17e eeuw zijn in Europa met nieuwe wiskunde snellere methodes gevonden om pi te berekenen. We zullen nu het precieze aantal decimalen nu niet langer volgen; in de jaren 40 van deze eeuw waren er ongeveer 1000 bekend. Na de ontwikkeling van de computer kon men er nog meer berekenen, en met de tegenwoordige supercomputers en nog betere methoden zijn een paar miljard decimalen gevonden.

Op dit moment vraagt u zich misschien af, of de berekening ooit af is. Heb je ooit pi precies? Het antwoord is nee; want er is aangetoond dat pi niet precies een breuk kan zijn. Sinds 1882 weten we zelfs dat pi een transcendent getal is, dat wil zeggen dat het nooit een wortel kan zijn van een vergelijking met gehele getallen als coëfficienten.

Dat betekent ook het einde van een ander beroemd probleem uit de oudheid, de kwadratuur van de cirkel. Dat is het probleem om met passer en lineaal, een vierkant te vinden dat precies gelijk is aan een gegeven cirkel. Omdat pi een transcendent getal is, is dat probleem onoplosbaar.

Er zijn natuurlijk altijd mensen die dit niet geloven, en die vinden dat zo'n belangrijk getal als pi eigenlijk een mooi getal moet zijn. In Duitsland verscheen nog in 1949 een boekje met een mystiek bewijs dat pi eigenlijk 3 1/5 zou moeten zijn. De waarde pi = 3 1/5 is ook eens als wetsvoorstel ingediend in de Amerikaanse staat Indiana, en het voorstel was bijna aangenomen, als een wiskundeleraar er geen stokje voor gestoken had. De staat Indiana hoopte de royalties te ontvangen van mensen die de nieuwe waarde pi=3 1/5 zouden gebruikten.

Tenslotte komen nog de zinnetjes waarmee u de eerste 14 decimalen van pi kunt onthouden, dus dat pi = 3, 14159 26535 8979. Het aantal letters van elk woord in het zinnetje wat u zometeen te horen krijgt is steeds een decimaal van pi. Het eerste woord moet dus uit 3 letters bestaan, het tweede woord uit één letter, het derde woord uit vier letters, en zo verder. In het Nederlands zijn deze zinnetjes nogal gedwongen, en mijn favoriete zinnetje is daarom het volgende Engelse:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.

Als u niet van quantum mechanica houdt, maar het liever in de alternatieve sfeer zoekt, kunt u als onderwerp van die lectures iets anders nemen, als het maar een woord van 7 letters gevolgd door een woord van 9 letters is, bijvoorbeeld Eastern religions. De volgende decimaal is 3, en u kunt het zinnetje dan uitbreiden zoals in het volgende voorbeeld:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving Eastern religious art.

Terug naar beginscherm geschiedenis van het getal. 


Jan Hogendijk <hogend@math.uu.nl>

8 sept 1997