Het zestigtallig stelsel.

In een eerdere aflevering van dit programma heb ik iets verteld over de geschiedenis van het tientallig stelsel, dat wij meestal gebruiken voor het rekenen. Vandaag zal ik iets vertellen over de geschiedenis van het zestigtallig stelsel. Dit is meer dan 2 en een half keer zo oud als het tientallig stelsel, dat zelf ook al 1500 jaar oud is.

We hebben allemaal ervaring met rekenen in het zestigtallig stelsel, zoals in het volgende voorbeeld. Stel een trein moet volgens het spoorboekje aankomen om acht uur vijftig, en de trein heeft twintig minuten vertraging, hoe laat komt hij dan aan? Antwoord: We tellen de twintig minuten vertraging bij de acht uur vijftig op, we krijgen dan acht uur zeventig, maar zestig minuten is één uur, dus dat wordt dan negen uur tien. Zo rekenen we dus zestigtallig met tijd (uren, minuten, seconden), en ook met hoeken, die we in graden, minuten, en seconden verdelen. Een rechte hoek is 90 graden, dus een volledige omwenteling (4 rechte hoeken) is 360 graden.

Het zestigtallig stelsel bestaat al minstens 4000 jaar. In Babylonië, het tegenwoordige Irak, bestond toen een hoogontwikkelde cultuur. Veel kleitabletten met spijkerschrift uit die periode zijn opgegraven, en daarbij zijn ook een aantal met wiskundige problemen en berekeningen in het zestigtallig stelsel. Het zestigtallig stelsel werd toen nog niet voor tijd gebruikt en voor hoeken, maar wel voor aantallen, lengtes en oppervlaktes.

Voor het schrijven van getallen gebruikten de Babylonische wiskundigen twee symbolen: de spijker, met waarde 1, en de winkelhaak, met waarde 10. Het getal '59' schreven zij als vijf winkelhaken, gevolgd door 9 spijkers. Voor grotere getallen werkte hun systeem zestigtallig. Een voorbeeld: Ons getal '500' is 480 plus 20, en 480 = 8 maal 60, dus 500 = 8 maal 60 plus 20. De Babyloniers schreven ons getal 500 daarom als acht spijkers (het getal 8), en daarna twee winkelhaken (het getal 20).

Er waren twee moeilijkheden met dit systeem. De eerste was, dat de oude Babyloniërs geen teken voor de nul hadden. Als er één spijker staat, en verder niets, dan kan dat 1 betekenen, maar ook 60. Een tweede moeilijkheid komt doordat zij precies hetzelfde systeem gebruikten voor breuken, en geen teken hadden om het gehele deel van een getal van het breukdeel te scheiden. 8 spijkers en 2 winkelhaken kan daarom behalve 500 ook 8 20/60 betekenen. Blijkbaar waren deze dubbelzinnigheden voor hen niet zo'n probleem omdat uit de context wel bleek wat de bedoeling was. Dat veranderde pas 1500 jaar later, en dat heeft te maken met de ontwikkeling van de sterrenkunde. Daar zal ik eerst iets over vertellen.

Omstreeks 750 voor Christus begon men in Babylonië systematisch sterrekundige waarnemingen te doen, en de resultaten in archieven (van kleitabletten) vast te leggen. Dit hield men eeuwen lang vol, dus ook ten tijde van Nebukadnezar en de Babylonische ballingschap moeten deze waarnemingen gedaan zijn. Al gauw werden daarbij een paar regelmatigheden duidelijk; zo was er vaak 223 maanden (iets meer dan18 jaar) na een maansverduistering opnieuw een maansverduistering. In de vierde eeuw voor Christus zijn een paar geniale Babylonische wiskundigen met dit materiaal aan de gang gegaan. Zij hebben methoden ontwikkeld om tijd en positie van diverse hemelverschijnselen te kunnen voorspellen. Niet alleen posities van de zon en de planeten, maar ook volle en nieuwe maan en het moment na nieuwe maan waarop de jonge maansikkel voor het eerst aan de avondhemel verschijnt. Dit was belangrijk voor de Babylonische kalender omdat het verschijnen van de maansikkel het begin van een nieuwe maand aangaf, net als in de Joodse en Islamitische kalender. De maan is een hemellichaam met een heel moeilijke beweging, en de Babylonische voorspellingsmethoden zitten uiterst geraffineerd in elkaar.

We keren nu terug naar het zestigtallig stelsel. De sterrekundige berekeningen waren zo ingewikkeld dat het oude system niet langer voldeed. Er werd nu een symbool voor de nul ingevoerd, en verder werden de berekeningen netjes in kolommen onder elkaar gezet, zodat je steeds weet welk getal bedoeld wordt. Nu ontstaat ook de methode om met hoeken te rekenen in graden, minuten en seconden.

De Babyloniërs hadden ontdekt dat het pad van de zon tussen de vaste sterren een cirkel was met de aarde als middelpunt, dat is de dierenriem. Zij wisten dat de maan en de planeten ook altijd in de buurt van de dierenriem staan. Zij verdeelden de dierenriem in 360 graden. Men vermoedt dat dat getal gekozen is, omdat men graag wilde dat de beweging van de zon in één dag ongeveer één graad is. Dan moet de hele cirkel dus ongeveer 365 graden zijn, en 360 is een veelvoud van 60 dat hier mooi in de buurt ligt. Omdat de Babyloniërs in het zestigtallig stelsel rekenden, werd elke graad in 60 minuten en elke minuut in 60 seconden verdeeld. Niet alleen de dierenriem naar ook elke andere cirkel kan in 360 gelijke delen verdeeld worden, en zo kun je ook een volledige omwenteling in 360 graden verdelen. Dit idee werd gebruikt voor het verdelen van de tijd. Het hemelgewelf draait namelijk in één dag om de aarde, om een denkbeeldige as door de poolster. Men verdeelde zo'n totale omwenteling (de moderne sterredag) in 360 'tijdgraden', en uiteraard 1 tijdgraad in 60 tijdminuten, enzovoort. 1 'tijdgraad' is dus de tijd die de hemel nodig heeft om 1 graad verder te draaien, en dit komt ongeveer overeen met 4 van onze klokminuten.

Na de verovering van Babylon door Alexander de Grote hebben de Griekse sterrekundigen de verdeling van de cirkel in 360 graden en de verdeling van de dag in 360 tijdgraden overgenomen. Daarnaast gebruikte men ook een verdeling van een etmaal in 24 gelijke uren, die gebruikelijk was in Egypte. In de late middeleeuwen is door de ontwikkeling van klokken met wijzerplaten een soort synthese ontstaan uit tijdgraden en uren. Een dag is 24 uren, maar met de uren wordt in het zestigtallig stelsel gerekend. Er zijn in de vorige eeuw en het begin van deze eeuw wel pogingen gedaan om het zestigtallig stelsel af te schaffen en decimaal te gaan rekenen met tijd en hoeken, maar zonder succes. Naar het zich laat aanzien zal de Babylonische traditie wel gehandhaafd blijven.

Terug naar beginscherm geschiedenis van het getal.


Jan Hogendijk <hogend@math.uu.nl>
8 sept 1997